数论小白都能看懂的数学期望讲解

感谢 @command_block 大佬提出宝贵建议

也感谢洛谷及 UVA 的相关题目

如果有小瑕疵可以在评论区提出

内容可能有点多 ~~ 但很简单 ~~ ，望大家耐心食用

0.前言：

数学期望当前在 OI 中是一个类似于数论方面门槛的知识，在竞赛中有考察。本文将详细的讲解此内容，但也不是只纠缠于简单的概念，而会解决一些题目. 可能这样介绍的知识对于大佬来说还是比较基础，但对像我这样的萌新来说通俗易懂，所以请各位口下留情。

这是最基本的数学特征。

广义下的定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值。

数学定义：< img src="https://i.loli.net/2019/08/13/dgYoKerEswl6nCF.png" alt="Image 2" style="max-width:100%; height:auto; border-radius:8px; margin: 16px 0;" />

2、期望的小性质：

3.期望与均值？

期望与均值是两个十分相近的概念，但又可以说是截然不同。

举个掷骰子的例子：

我们的均值怎么算呢？

显然要掷上一定多的次数来求平均数。

比如，掷了 6 次，分别为 1,5,5,6,3,3，那么均值为 $ \frac{1+5+5+6+3+3}{6} = \frac{23}{6} \approx 3.833\dots $

~~ 居然无限循环小数... 看来我是自己出数坑自己 ~~

可是期望呢？

我们不用掷骰子就能计算出来：

可以看出，两个值是有明显差别的，而且还时刻不同。

但是为什么容易弄混呢？

因为 ~~ 我太弱了 ~~ 在将多个均值求均值后，两者就无限接近了。

4.引入：

问题1：

_ 先看一个问题：_

甲乙两个正常人赌博，丙作为裁判监督，五局三胜，赢家可以获得 100 元的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，但这时赌场遇到了警察的查封，丙见势不妙，立马逃走了，甲乙两人被迫中止了比赛，那么，如何分配这 100 元？（每局都能分出胜负）

#### 方案 1：

每人 50 元。

这显然是和平解决问题的方式，此时乙会赞成，但是甲一定有意见，显然，自己已经拿下赛点，不可能心甘情愿的平均分钱。

#### 方案 2：

按照获胜的概率分。

假设比赛继续进行，那么下一轮：

50%: 甲赢，拿下 100 元。

50%：乙赢，继续比赛。

但是，如果问题就进行到这里，也就没有接下来的期望了。

当然，如果乙 ~~ 在暗中操纵下 ~~ 赢了，那么再下一轮中，

甲乙两人都有 50% 的概率获胜，拿下 100 元。

~~ 甲乙：？？这怎么算？~~

问题2：

一位公司招募员工，几乎没有什么面试，甲乙两个年轻人就意外的获得了一份工作，这时，面试官却说要给他们发入司奖金，每人需要从各自的三个红包中选择一个。

此时，他们已知红包中有一个 1000 元的，两个 500 元的。

两位年轻人各自抽取了一个。

他们刚要打开红包，面试官却制止了他们，随机打开每人剩下红包中的一个，相同的，里面都装着 500 元钱。

于是面试官向他们询问：如果同意你们用手上的红包换取未打开的红包，你会换吗？

但是，当甲走到门口时，面试官灵机一动，告诉他可以再回答一个问题。

于是甲满怀激动地走了过来。

面试官 ~~ 把 ~~ 向两人 ~~ 踢出 ~~ 提出了下一个问题：

如果给你手上的红包，让你换已经打开的呢？（打开的那个是 500 元）

~~ 显然无论如何都是不换的于是两人完美的成为了同事 ~~

~~ 面试官因招到了人完美的收到了 4000 元 ~~

这其实是一个著名的三门问题，也称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，这个问题因在数学逻辑推理上合理，但违背直觉而闻名于世

5、期望的应用

彩票问题

在买彩票中，大多数人相信基本上是没法中奖的，但还是有少数人幻想，于是就再这里简要分析一个彩票问题的期望.

设一张彩票为 2 元，每售 $ 10^6 $ 张开奖，假设中奖号码为，则每张彩票有一个对应的六位数号码，奖次如下：（中奖不叠加）

三个骰子，每个面的概率均等，显然，三个面相加能得到一个唯一的数，而得到这个唯一的数却有多种不同的组合方法。

现在你需要求出哪个和出现的概率最大。

解法1：

这题的数据范围很小，直接暴力跑三重循环就行了。

解法2：

这里我 ~~ 闲的没事 ~~ 用了与期望相关的知识来简化了一下。但是这里只是定向的判断一下。

直接计算骰子的期望，得：

但是这个想法却有考虑不周的情况，这里留给读者思考。

7.例题2：

思考题：

_tag：这道题笔者并没有找到题目出处，如有发现者，欢迎在评论区留言！_

tag：< img src="https://cdn.luogu.com.cn/upload/pic/65911.png" alt="Image 7" style="max-width:100%; height:auto; border-radius:8px; margin: 16px 0;" />

8.例题3

题目链接：

然后在满心欢喜的提交上去后发现 wa 了。

显然，我们还有没考虑到的地方？

是什么呢？

是最后求得的答案与中间过渡式子的不同性。

其实，前三个式子我们都只考虑第 i 位，这样做是为了递推下面的式子，但是答案让我们求出最终的期望分数，也就是前 n 位，这时输出 f[n] 自然就炸了。

所以，只需把三次方递推式稍微变形一下即可；

这样最终的 $ f[n] $ 就是答案喽！

code：

//AC记录：https://www.luogu.org/record/21569138
#include<cstdio>
using namespace std;
double a[100005],b[100005],f[100005],p[100005];
int main()
{
	int n;
   scanf("%d",&n);
   for(int i=1;i<=n;i++)
	{
       scanf("%lf",&p[i]);
       a[i]=(a[i-1]+1)*p[i];
       b[i]=(b[i-1]+2*a[i-1]+1)*p[i];
       f[i]=f[i-1]+(3*b[i-1]+3*a[i-1]+1)*p[i];
   }
   printf("%.1lf\n",f[n]);
   return 0;
}

~~ 学好数学期望，递推 AC 紫题！( 其实这应该算 dp~~

这题还可以扩展到 k 次，也就是，用二项式定理 解决

觉得不够快？食用 NTT 对其加速可以达到

10、例题5

最后一道题目

但这应该是个经典问题吧

和上面一道 UVA 题目有一点点像

行了不废话了放链接

一顿猛算后发现：

当然如果熟练了，直接心算都没毛病啦 ~~

然后考虑 $ f[i] $

唉有了前面 osu 的铺垫这还不是轻而易举？

跟推 a 的时候一个思路，新的或旧的，唯一就把平方拆开就行喽

OK 既然上面讲了写式子下面就说说化简的事吧 ~

把第一个括号拆成 $ (1 + a[i])^2 $ 和 $ (1 + a[i+1])^2 $ 两部分

然后把 $ f[i] $ 给移到左边，合并得：

然后两边同除 $ \frac{n-i}{n} $

就简单一些了。

代码中精度转换注意一下，不要丢失

end

code：

#include<cstdio>
using namespace std;
double a[10005],f[10005];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	a[n]=0;
	f[n]=0;
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		a[i]=a[i+1]+1.0*n/(n-i);
		f[i]=1.0*i/(n-i)*(2*a[i]+1)+f[i+1]+2*a[i+1]+1;
	}
	printf("%.2lf\n",(f[0]+a[0])/2);
	return 0;
}

11、其他推荐题目

P1850 换教室 ————2016NOIPTG 题目，dp+ 期望，值得一做 P3802 小魔女帕琪————也挺好，入门的分析

12、条件期望(略微进阶)

这种期望的求解一般是在有一定条件下的。~~ 废话 ~~

_ 如下题：_

假设你不断扔一个等概率的六面骰子，直到扔出 6 停止。求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。

分析：

第一眼，我的答案是 3

至于如何得出的，在这里就不卖关子了，因为上面的答案是错的！

思考一下，为什么呢？

我们再读一下题：

~~ 抽丝剥茧 ~~

细细的考虑一下，题目所说的并不是指出现奇数就 pass 再扔，而是出现奇数就终止了操作！！！

所以把条件这样转换后，就可以得到正确答案： $ \frac{3}{2} $ 了

什么？你问怎么得到的？

那我把题意转换一下：

假设你不断扔一个等概率的六面骰子，直到扔出1,3,5，6停止。求骰子最后一次是6次数的期望。

这样再结合前面的知识，大家应该都明白了吧。